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정해진 두 점을 지나는 최대시간 강하선에 관련된 문제에 대해서 알아보고자 한다. 실생활에서의 최대시간은 몸속의 모세혈관에서의 물질 교환과 같은 오랜 시간이 걸릴수록 높은 효율을 자랑하 는 곳에 쓰일 수 있다. 본 연구는 일차함수, 이차함수, 유리함수, 지수함수, 삼각함수의 다섯 가지 곡선에 대해 수식으로 시간을 측정한 후, 초고속 카메라로 촬영하여 공의 경로를 분석하는 연구를 한다. 이에 따른 결과를 곡률, 넓이 등의 수학적 값과 비교하여 상관관계를 찾는 것이 이 연구의 목적이라 할 수 있다. 주제어: 사이클로이드, 곡률, 적분
미적분학에서 언급한 극장에서의 최적 좌석의 문제를 확대하여 본 연구에서는 경사를 고려한 영화 관람석과, 투수와 포수를 잇는 직선상의 좌석들에 대해 하나의 변수를 통해 최적의 자리의 조건을 구하는 것을 새롭게 시도하였다. 이를 위해 시야각이 최대가 되는 좌석을 최적의 좌석으로 정의하고 평면에서 시야각을 거리에 대한 함수로 표현하였으며 함수의 최댓값을 미분을 활용하여 최적의 좌석 위치를 구했고 결과적으로 시야각이 최대가 되는 거리를 수식으로 도출하였다. 주제어: 시야각, 영화관, 야구장, 최댓값, 삼각함수
본 연구는 현재(2022년 5월 24일) 코로나 확진자 수가 줄어드는 상황 속에서 어떻게 해야 효율 적으로 선별진료소를 줄일 수 있는지에 관한 것이다. 인천에 있는 부평구를 대상으로 하였으며 적절한 선별진료소 개수의 기준을 정하고 구별 적절한 선별진료소의 개수를 SEIR 모델을 활용하 여 측정했다. 측정 후 보로노이 다이어그램을 활용해 모델마다의 점수를 측정했으며 이를 통해 현 상황에서 가장 효율적인 모델을 구축할 수 있었다. 이 연구를 통해 추후 발생할 수 있는 새로운 전염병이 발생하였을 시 선별진료소는 어느 정도 수준으로 늘리거나 줄여야 하는지를 어떻게 계산할 수 있는지에 대한 발판을 마련해준다. 주제어: 선별진료소, 전염병, 감염재생산지수, SEIR 모형, 보로노이 다이어그램
데이터의 효율적 활용은 정보화 시대를 살아가는 우리에게 있어 매우 중요한 사안이다. 이를 위해 대량의 데이터의 경향성을 파악할 수 있는 회귀분석이라는 수학적 기법이 존재하는데, 일반적으로 경향성이 직선으로 표현되는 선형 회귀분석이 널리 사용되고 있다. 하지만 선형으로 경향성 을 표현하는 것이 적절하지 않은 데이터도 존재한다. 이러한 경우들은 상관관계가 존재하지 않은 데이터 분포가 아닌, 선형이 아닌 비선형 함수를 이용했을 때 경향성을 더욱 잘 설명할 수 있는 경우를 말하는 것이다. 본 연구에서는 고등학생들이 실생활에서 흔히 접할 수 있는 문제인 "시간경과에 따른 학습 내용 기억량의 변화"와 "운동 시간과 심박수의 관계 – 세컨드 윈드"라는 총 2가지의 데이터를 실험을 통해 수집하고 각각의 데이터의 경향성을 잘 설명할 수 있는 최적의 함수를 도출해내어 각 데이터의 경향성을 조사하는 것을 목적으로 한다. 주제어: 경향성, 비선형 회귀분석, 최소제곱 함수, 망각, 세컨드 윈드
비즈네르 암호는 다중치환 암호의 일종으로 키값을 정한 후 `비즈네르 표` 를 이용해 평문을 한 문자씩 키의 값과 대응되는 줄에 해당하는 문자로 치환하는 암호이다. 따라서 빈도 분석법에 의해 해독 당하지 않으므로 카이사르 암호보다 훨씬 안전하다. 하지만 비즈네르 암호 역시 해독법 이 존재한다. 반복된 문자열을 이용해 키값이 될 가능성이 있는 수를 찾는 카지스키 공격법과 키값의 대략적인 길이를 알아내는 프리드먼 공격법을 통해 키의 길이를 알아낼 수 있고, 이후 암호문을 키의 길이 만큼씩 나눈 후 빈도 분석법을 사용해 키를 알아내고 복호화하는 방식으로 비즈 네르 암호를 해독할 수 있다. 이러한 약점을 보완하기 위해 연구를 시작하였다. 기존의 파훼법이 통하지 않는 암호화 과정을 고안한 결과, 문자의 균등치환이 이를 만족하는 암호화 과정임을 알 수 있었다. 따라서 무리수를 이용한 암호화 과정과, 최적의 키를 경험적으로 찾는 방법을 통해서 균등치환을 만족시키는 암호화 과정을 실현시킬 수 있었다. 주제어: 비즈네르 암호, 암호화, 프리드먼 공격법, 무리수를 이용한 암호화, 최적의 키
우리나라 민속놀이인 고누는 다양한 종류가 있으며, 수학적으로 연구된 사례가 거의 없다. 본 연구에서는 자전거고누에 대해 연구하였다. 우리는 먼저 ‘출구규칙’이라는 불분명한 규칙을 정의하였으며, 이 규칙의 적용 여부에 따른 게임의 양상을 분석하였다. 수학적 탐구를 통해 자전거고누의 1 대 1 상황과 몇몇 2 대 2 상황에서의 게임의 승패를 증명하였다. 프로그래밍을 통해 자전거고누에 후진 귀납법을 적용하여 분석하였고 출구규칙을 적용했을 때 무승부 게임이며, 출구 규칙을 적용하지 않았을 때 23수 안에 선수가 필승한다는 것을 증명하였다. 그 외에 각 게임 상태의 승패, 초기 전략, 특수한 게임 상황에 대해 분석하였다. 주제어: 고누, 자전거고누, 후진 귀납법, 추상 전략 게임, 필승전략
본 연구에서는 COVID-19로 인해 메타버스 환경에 대한 관심이 증가하고, 4차 산업 혁명 시대 를 맞아 컴퓨터 프로그래밍이 중학교와 고등학교의 교육과정에 추가되는 현재 상황에 주목하여 사용자 체험 중심의 수학 학습 메타버스 환경을 구축하고 시각화 자료를 제작하였다. 이를 토대로 Python의 여러 라이브러리와 자료형을 그 수학적 기반과 융합하여 소개하는 콘텐츠인 ‘코딩 수학’과 수학 분야별, 시대별 주요 수학자와 그들의 업적을 소개하여 수학적 흐름의 이해를 돕는 ‘수학사’콘텐츠를 개발하였다. 또한 시각화 자료에 대해 사용자의 직관적인 이해를 돕는 해설 영상을 촬영하여 메타버스 플랫폼에서 제공하였다. 다양한 환경에서 사용자가 자율적으로 학습할 수 있도록 실습 예제를 풀어볼 수 있는 웹 환경을 구축하였다. 주제어: 메타버스, 코딩수학, 수학사, 시각화, 사용자 체험 중심
본 연구는 몬티 홀 문제의 확장과 그 활용에 관한 연구이다. 몬티 홀 문제는 조건부 확률을 기반 으로한 문제로, 상품의 개수, 상품의 가치 등 여러 가지 변수들이 있고, 우리의 선택에 따라 얻을 수 있는 상품에 대한 확률이 변화하여 최종 확률을 끌어낸다는 특징이 있다. 이에 우리는 다양한 변수들을 포함한 몬티 홀 문제를 조건부 확률에 기반한 수식적인 계산을 통해 가장 효율적인 선택을 찾아내었다. 또한, 상황에 따라 확률이 달라지는 것을 베이즈 도형을 통해 표현함으로써 참가자의 선택에 따른 상품을 얻을 확률을 알아보기 쉽게 하였다. 이러한 연구들을 통해 나온 결과 들을 Mathematica와 Python을 통해 검증함으로 다시 검토해볼 수 있었다. 주제어: 몬티 홀 문제, 조건부 확률, 베이즈 도형, Python, Mathematica
이 연구는 확장된 반전변환과 그 활용을 다룬다. 반전변환은 원에 대한 대칭변환으로, 원을 해석 하는 좋은 수단이다. 최근 반전변환을 원이 아닌 도형으로 확장하고자 하는 시도가 늘고 있으며, 그중 가장 최신 연구에서 유계이고 닫힌 볼록 도형까지로 확장된 것을 확인하였다. 이 연구에서 는 임의의 도형으로 확장하여 반전변환을 정의하고, 여러 가지 성질과 정리를 증명한다. 또, 확장 된 반전변환에서 이차곡선과 직선 사이의 관계를 밝혀 이차곡선 위의 점 판별법을 개발하였다. 이는 확장된 반전변환이 이차곡선을 해석하는 하나의 수단이 될 수 있음을 보인다. 주제어: 확장된 반전변환, 이차곡선 위의 점 판별법
색을 표현하는 방법으로 디지털 모니터에서는 RGB 색체계가, 인쇄물에서는 CMYK 색체계가 사용된다. 이러한 RGB 색체계와 CMYK 색체계간의 변환은 디지털 파일에서 인쇄물로 전환하기 위해 거쳐야 하는 기본적인 작업이다. 그러나 서로 다른 색공간끼리의 변환 과정에서 생기는 색 손실로 인하여 기존의 색과 인쇄된 색에 차이가 생기기 때문에 사람들이 인쇄 작업에 불편함을 겪는 경우가 많다. 이것을 해결하기 위해 색공간의 변환 과정에서 생기는 색의 오차에 대해 분석하는 연구를 진행하였다. The Material Design palette의 기준에 따라 분류된 190가지 색상에 대해 본래의 RGB 값과 출력한 인쇄물에서의 RGB 값의 오차를 구하고 분석하였다. 첫째로 각 색상 계열에서의 색 손실 정도를 비교하여 경향성을 파악하였고 둘째로 색상의 선명도와 오차와의 상관 관계를 분석하였다. 주제어: 색공간, 색 변환, 오차, 색 손실
본 연구는 90˚ 혹은 270˚로 이루어진 다각형(이 논문에서는 테트리스 다각형) 안에서 모든 부분을 관찰하는데 필요한 최소한의 CCTV의 수에 관해 탐구하였다. 이에 대해 알아보기 위해 다각 형의 정의 및 특징을 조사했고, 조르당 곡선 정리의 개념을 학습해 다각형의 외부와 내부를 분리해 다각형을 설명했다. 그리고 미술관 정리에 관한 논문을 읽고 이를 참고해 시야각을 제한한 테트리스 다각형 안에서 필요한 최대 관찰자 수에 대한 공식을 증명했다. 주제어: 테트리스 다각형, 미술관 정리, 시야각, 관찰자, 삼각분할
수학에서는 명제를 다루며 ‘참’과 ‘거짓’으로 세상을 구분 지으려 한다. 하지만 우리는 살아가면서 참과 거짓으로 판단할 수 없는 애매한 상황을 자주 접한다. 예를 들어 ‘내 동생이 얼마나 미운지’에서 ‘얼마나’에 대해 답을 하려고 하면, 수학에서의 이분법적인 사고는 더는 쓸모가 없다. 동생 이 미운 것은 ‘참’이지만 ‘엄청나게’라는 수식어가 붙어야 마음이 편해지기 때문이다. 이렇게 ‘애 매모호함’을 다루는 것이 퍼지 이론이다. 우리는 퍼지 이론에 대한 집합인 퍼지집합을 보통 집합과 함께 생각해보며 둘 사이의 관계에 대해 생각해보고, 특정한 함수를 이러한 퍼지집합으로 나타내보는 활동을 하였다. |sin(x)|함수를 통해 퍼지 연산을 확인했고 어떤 현상을 함수로 알아낼 수 있으면 애매모호함을 좀 더 명확하게 알아낼 수 있다고 본다. 주제어: 퍼지집합, 다이어그램, 집합