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본 연구에서는 m각n각수의 일반항 중 유리수 해에 관한 탐구를 진행하였다. 다각수란 정다각형 에 배열된 공의 수에 기반하여 얻는 평면 도형수이다. 정n각형에 대응하는 다각수들을 n각수라 한다. 한편, 사각수중 삼각수인 수를 사각삼각수라고 하고, m각수 중 n각수인 수를 m각n각수라 고 한다. 이러한 m각n각수를 일반적으로 구하는 방법을 찾고자 연구를 진행하였다. m각n각수의 일반항을 찾기 위해 먼저 사각삼각수와 오각삼각수, 오각사각수에 대해 탐구하였다. 이 탐구를 통해 u번째 m각수와 v번째 n각수의 일반식을 같다고 놓고 등식을 만든 뒤 식을 변형하여 Ax^2 - By^2 = C (단, x,y는 각각 u,v에 관한 식) 과 같은 꼴로 만들고 이를 그래프로 그렸을 때 쌍곡 선으로 나타나므로 직선 y = k(x-a) + b와의 교점 중 (a,b)가 아닌 다른 교점을 구하여 m각n각수의 유리수 해를 구할 수 있었다. 또한 위와 같이 구한 u,v의 일반적인 유리수 해에서 m,n값 만으로도 u,v의 유리수 값들을 도출 할 수 있는 파이썬 코드를 만들었다. 주제어: 다각수(polygonal number) 삼각수(trigonal number) 사각수(square number) 오각수(pentagonal number) 펠방정식(Pell equation)
AI 분야에 있어서 행렬을 많이 다루고 있지만, 고등학교 대부분의 수학 과목에서 행렬의 내용이 빠져 있던 것이 안타까울 따름이었다. 이 연구를 통해 행렬을 연구하는 과정에서 AI 빅데이터 처리 역량을 향상하며 4차 산업혁명 시대가 요구하는 능력을 신장하고자 한다. 우선 행렬의 기본 연산을 이해하고 이를 Python으로 나타내는 것을 이해하고자 한다. Python으로 행렬의 연산을 나타내는 것을 바탕으로 AI에 행렬이 적용되는 사례를 조사하고자 한다. 특히, 머신러닝의 성질 이해를 바탕으로 이미지 변환, 학습 챗봇, 영상 추천, 메일 분류 등 실생활에 행렬이 적용되는 사례를 깊이 있게 연구하고자 한다. 주제어: Python, 행렬, 행렬 분해, 머신러닝, 선형대수
본 연구는 지진이 빈번히 발생하는 일본의 최근 데이터를 이용하여 지진 발생예측을 위한 수리적 모형을 구성하고 계산해보고자 한다. 지난 2개월 동안의 일본지역 지진 수열을 분석하여 이후의 지진의 발생 화산대와 발생 횟수를 예측한다. 실측값과 비교한 결과 미래의 지진 발생 횟수는 2회가 발생하여 4회의 예측을 조금 빗나갔으나, 지진 발생 화산대는 정확히 일치하였다. 주제어: 확률, 조건부확률, 지진, 지진예측, 일본 지진판
본 연구는 연립 미분방정식을 바탕으로 제작한 전투 게임을 분석해 전투 결과를 예측하고, 실제 전투 게임의 시뮬레이션 결과와 비교해보는 것을 목적으로 한다. 본 연구에서는 개발자 사이에서 떠오르는 프로그래밍 언어인 Go 언어를 사용하여 시뮬레이션을 진행하였고, 간단히 전투를 한 번만 진행하는 시뮬레이션에서부터 팀 내에서도 역할을 나누고 여러 번의 전투를 연속적으로 실시 하는 시뮬레이션까지 게임 내 변수를 늘려 게임을 발전시켜가며 연구를 진행하였다. 이는 추후에 활용되어 게임의 밸런스 판단 및 게임 진행 예측 등 개발한 게임의 완성도를 분석하고 개선할 점을 찾는 데 도움을 주어서 많은 개발자들에게 유용하게 사용되리라 예상한다. 주제어: 전투 게임, 연립 미분방정식, Go 프로그래밍 언어, 시뮬레이션
방문해야 하는 특점 지점들 사이의 거리가 그 지점들 사이의 거리보다 가깝게 분포하는 상황에서 적절하게 방문할 점들을 몇 개의 집합으로 나누어 각 꼭짓점 집합 내의 부분 TSP를 구하고 전체 의 TSP로 합하는 TSP의 근사 방법을 제안한다. 이 방법에서 방문해야할 지점들을 나눌 때에는 거리에 따라 나타나는 밀도함수를 이용하였으며, 이에 이용되는 변수를 적절히 조절하여 합리적인 꼭짓점의 분할이 가능하도록 할 수 있었다. 이러한 방법을 기존에 TSP를 구하는 방법에 이용하 였을 때의 실행 시간은 1/5 정도로 줄어들었으며 오차율은 약 0.1로 나타났다. 주제어: TSP, Divide and Conquer, Routing
Cauchy-Crofton formula는 직선과 곡선의 교점의 개수 함수를 적분하여 곡선의 길이를 구하는 공식이다. 양함수의 그래프의 길이는 매개 곡선의 길이를 구하는 방법으로 그 길이를 계산할 수 있다. 맥 함수로 표현하기 힘든 폐곡선의 이미지가 주어진 경우, Cauchy-Crofton formula를 이용하여 길이를 구할 수 있다. 본 연구에서는 폐곡선의 이미지 파일과 단위 길이가 주어졌을 때 Cauchy-Crofton formula를 이용해 해당 폐곡선의 길이를 계산하는 계산기를 구현하고자 한다. 주제어: 폐곡선, Cauchy-Crofton Formula, 중적분
Cybenko는 Universal Approximation Theorem을 통해 임의의 연속함수가 주어졌을 때 다층 퍼셉트론으로 그 함수를 근사할 수 있다는 것을 수학적으로 증명하였다. 그러나 주어진 데이터셋에서 최적의 함수를 구하는 일반화된 수학적 방법은 아직 없는 상태이다. 본 연구에서는 Universal Approximation Theorem이 성립함을 특정 연속함수에 Python을 활용해 확인하고, 주어진 데이터셋에서 최적의 함수를 찾아가기 위하여 드롭아웃, 은닉층 개수, 학습률과 배치 사이즈 등의 옵션을 변화시켜 보면서 테스트 데이터의 정확도를 확인하고자 한다. 연구 결과 학습률은 대체적 으로 정확도와 비례 관계로 증가하며, 드롭아웃과 정확도는 반비례 관계를 이루고 있음을 확인하 였다. 드롭아웃의 경우, 은닉층이 증가할수록 급격한 속도로 감소하는 경향을 보이며, 배치 사이즈는 학습률과 비례할수록 정확도가 증가함을 확인하였다. 이와 같이 분류예측에 사용되는 다층 퍼셉트론의 각 옵션들은 상호작용하며 정확도에 영향을 준다. 지금까지의 다층 퍼셉트론 연구의 대부분은 실생활에서의 쓰임에 대한 것이지만, 본 연구는 다층 퍼셉트론 자체의 최적화를 찾기 위한 연구임에 의의가 있다. 주제어: 딥러닝, 다층 퍼셉트론, 정확도, 분류 예측, 옵션
도시화가 진행됨에 따라 사람들은 더욱더 밀집하여 살게 되었고, 도시는 더 확충된 교통시설을 필요로 하게 되었다. 특히, 수원과 같이 오래전부터 형성된 도시는 이 현상을 더 심하게 겪고 있다. 이에 따라 단순히 교통 시설을 늘리는 것이 아닌 교통수요를 관리하는 정책이 필요해졌고, 간선급행버스체계(이하 BRT)가 각광받게 되었다. 따라서 본 연구는 BRT 타당성을 검토하고, 적용 대상 구간을 제안한다. 이를 위해 수원시의 교통 양상을 분석하고, BRT 설계를 위한 발판을 마련하였다. 그리고 수원시민의 통근 지역과 이용하는 교통수단 및 자주 이용되는 노선을 분석하여 실제 BRT가 적용되는 것이 좋은 도로를 선정하였다. 이를 통해 수원시내에서 버스의 정시성 확보와 평균 운행속도 향상에 기여할 수 있을 것으로 기대된다. 주제어: BRT, 교통수요관리정책, 버스중앙차로제, 대중교통 분담률, 노선 설계
미분 방정식을 풀 때, 미적분 연산 과정을 행렬을 이용하여 접근하면 쉽고 간단하게 해결할 수 있을지 의문이 들었다. 이에 대한 해답을 구하기 위해서 미적분에서 사용하는 다양한 연산 과정을 행렬로 표현하고, 이를 적용해보기로 하였다. 미분 연산자를 행렬로 표현한 다음, 편미분, 전미분, 편적분을 행렬로 표현하고 중적분을 행렬로 표현할 수 있는 가능성을 제시하였다. 나아가서 chain rule, 미적분학의 기본 정리, 선형결합 등의 성질들을 증명하였다. 나아가서 기본적인 미분 방정식에 행렬을 대입하여 실제 해와 행렬의 값을 비교하면서 행렬을 통한 계산과정이 타당함을 확인하였다. 행렬로 나타내는 수학적인 이론들이 더 정립된다면 더욱더 다양한 상황에서 행렬을 이용하여 미적분학을 해석할 수 있을 것이다. 주제어: 행렬, 미적분학, 선형대수학
지벡-마든의 정리에 의해, 삼각형의 내접 타원이 세 변을 내분하는 비율과 삼각형의 세 꼭짓점을 이용하여 내접 타원의 두 초점의 위치를 알 수 있다. 본 연구에서는 사각형에서도 지벡-마든의 정리가 성립함을 증명하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 평행사변형의 내접 타원과 평행사변형의 접점의 분할비에 대한 규칙성을 발견하였으며, 예각인 꼭짓점을 기준으로 내접 타원을 특정하여 이를 평행사변형의 m-내접 타원이라 명명하였다. 둘째, 평행사변형의 m-내접 타원의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계를 발견하였다. 셋째, 평행사변형의 지벡-마든의 정리를 구성하고 이를 증명하였다. 넷째, 방접 타원의 두 초점 사이의 관계식을 발견하였다. 다섯째, 평행 사변형이 아닌 임의의 볼록사각형의 지벡-마든의 정리를 구성하고 이를 증명하였다. 본 연구에서 는 삼각형에서 성립하는 지벡-마든의 정리를 사각형으로 확장하였다. 이렇듯 수학적 개념을 더 넓은 범위로 확장하는 활동은 수학의 발전에 기여할 수 있을 것이라 기대한다. 주제어: 내접 타원, 사각형, 지벡-마든의 정리, 분할비, 초점
본 연구에서는 관 내에 음파를 발생시켰을 때 형성되는 정상파를 육안으로 관찰함으로써 실제적 인 진동양상을 확인하고자 한다. 공기의 흐름을 가시화하는 Schlieren method를 이용하며, 그 중 Background Oriented Schlieren(BOS)을 적용하였다. 자체 제작한 분석 프로그램과 PIVLAB을 이용해 영상 분석을 진행했고, 이는 공기의 밀도 변화로 인한 미세 굴절률 변화를 통해 이미지를 나타낼 수 있음을 이용했다. 이를 통해 공명, 관구효과, 난류, 회절 등 관 전범위에 걸쳐 발생하는 파동 특성과 유체 현상들을 관찰할 것이며, 이는 3D 토모그래피 분석으로 이어질 수 있다. 또한 원형관이 삽입되었을 때의 새로운 슐리렌 방법은 연료 노즐 분사 촬영 등 여러 분야에서 이용될 수 있을 것으로 기대된다. 주제어: 슐리렌, 공명, 정상파, 관구효과, BOS
현존하는 FDM 3D 프린터의 출력물은 z축 방향 인장강도가 약하다는 문제점이 있다. 본 연구에 서는 이 문제점을 해결함으로써 3D 프린터 출력물의 전반적인 강도를 높이고자 한다. 주제어: 3D프린터, 강도, 플라스틱, 유도가열, 가열