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본 연구는 연분수의 성질과 항의 개수를 통계적, 수학적으로 분석한다. 연분수 함수를 정의하여 연분수 표현을 연분수 전개에 필요한 항의 개수는 최대공약수를 구하기 위해 필요한 유클리드 호제법의 횟수 와 같다. 이 횟수를 유의미한 방향으로 분석하고, 수렴값을 추측한다. 실수 범위에서 연구되던 연분수 표현을 복소수 범위로 확장시켜 정의하고 연구한다. 연분수 표현을 위해 사용되는 함수를 복소평면에 서 나타내어 대응 관계를 기하학적으로 연구한다. 복소수와 연분수 함수를 구현하여 임의의 복소수의 연분수 표현의 주기를 분석한다. 실수에서 성립하는 가우스-쿠즈민(Gauss-Kuzmin) 정리 등을 복소수 범위에서 적용시켜 연구해볼 수 있을 것으로 기대된다. ▪ 주제어: 연분수, 복소수, 최대공약수, 유클리드 호제법
국내외 코로나 확진자수는 가파른 상승세를 보이며 늘고 있다. 이러한 상황에서 코로나 확진자수를 예측하는 과정은 필수적이다. 코로나 확진자수를 수학,코딩을 적용해서 더 정확한 값을 구하기 위해서는 새로운 모델이 필요하다. 코로나 감염병 확진자수를 예측하는 모델 중 우리가 다루고자 하는 모델은 SEIR모델이다. 모델은 감염 대상군 (susceptible), 접촉군 (exposed),감염군 (infected),회복군 (removed)로 각각 이루어져 있고 서로 연관성이 있다. SEIR모델을 공부하고 파라매터 값을 직접 설정하면 SEIR모델은 다양한 상황에서 활용이 가능하다. 정책변화에 따른 확진자수를 예측하기 위해서 모델을 설계한다. ▪ 주제어: SEIR모델, 정부 정책, 변수(매개변수), 사회적 거리두기 단계
본 연구는 임의의 정다각형에 내접하는 타원의 성질에 대한 내용을 담고 있다. 정다각형에 내접하는 타원은 다른 관점에서 본다면 각 변을 연장해서 만들어지는 모든 사각형에 내접하는 타원과 같다. 이러한 점에 착안하여 본 연구에서는 정다각형의 각 변을 연장했을 때 만들어지는 사각형인 마름모와 대각대칭사각형에 대해 연구한 후, 이를 바탕으로 정다각형의 내접 타원에 대해 연구했다. 본 연구를 통해 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, 대각대칭사각형에 내접하는 타원의 초점이 될 수 있는 점의 자취가 주어진 대각선과 원호임을 밝혔다. 두 번째, 임의의 정다각형에 내접하는 타원은 정다각형의 내접원뿐임을 보였다. 마지막으로, 임의의 대각대칭사각형과 내접타원의 초점이 될 수 있는 점이 주어졌을 때, 그 점을 한 초점으로 하는 내접 타원의 작도 방법을 고안하였다. ▪ 주제어: 대각대칭 사각형, 사각초점, 내접 타원, 작도, 정다각형
본 연구는 삼각형에서 정의된 슈타이너 내접 타원과 마든의 정리를 사각형으로 확장 및 적용해보는 연구이다. 삼각형의 슈타이너 내접 타원이 최대 넓이인 내접 타원이라는 성질을 바탕으로 사각형의 최대 넓이인 내접 타원을 찾고, 그 내접 타원이 삼각형의 슈타이너 내접 타원과 유사한 성질을 가짐을 밝혔다. 우리는 이러한 내접 타원을 사각형의 슈타이너 내접 타원으로 정의하였다. 본 연구를 통하여 슈타이너 내접 타원이 존재하는 사각형의 조건, 슈타이너 내접 타원과 사각형 사이의 넓이비, 마든의 정리의 성립 유무 등을 밝혔다. 나아가 사각형의 슈타이너 내접 타원을 그리는 방법 또한 발견하였다. ▪ 주제어: 슈타이너 내접 타원, 평행사변형, 초점, 작도법, 마든의 정리
영화관 좌석의 경우 스크린이나 스피커로부터의 거리와 관계없이 모든 좌석의 가격이 동일하다. 좌석위치에 따라 여러 요인들이 다르게 작용하여 차이가 존재할 것이지만 그럼에도 가격이 전부 동일한 것에 의문을 품었다. 따라서 본 연구에서는 영화관 각 좌석에 시각적, 청각적 요인을 고려해 각 좌석별 점수를 부여하는 공식을 만들어 이를 바탕으로 최적의 좌석을 찾는 것을 목적으로 한다. 시각적 요인으로는 시청 거리, 안구 건조증 마이봄샘 등에 따라 복합적으로 작용하여 변화가 생기는 눈 깜박임을 선정하였고, 청각적 요인으로는 사빈공식을 통해 계산할 수 있는 잔향 시간을 선정하였다. 이 두 요인을 고려하여 좌석별 점수를 부여하는 공식을 만들고 이를 일반적인 곳에서도 적용 가능하도록 한다. ▪ 주제어: 눈 깜박임, 잔향시간, 좌석별 점수 부여
이진법 게임에서는 일렬로 놓여있는 전구들을 어떠한 초기 상태에서 최종 상태로 도달하도록 하는 방법(과정)을 찾는다. 이러한 이진법 게임을 3차원의 공간으로 확장시키고 각 경우에서 해의 개수와 최소 횟수의 최적해, 유일성에 대해 탐구하고자 하였다. 행렬과 방정식을 이용하여 각 도형에서 해가 존재하기 위한 초기 상태와 최종 상태의 관계에 대해 알아보고, 3차원의 이진법 게임을 수학적으로 나타냈다. 이 연구를 해결하기 위해 사용된 방식들은 3차원에서 유한 번의 작동이 일어나는 또 다른 문제(예를 들면 섞여진 초기 상태에서 같은 색깔끼리 한 면에 있는 최종 상태가 되도록 만드는 큐브처럼)들을 연구하는 데에 도움이 될 것이다. ▪ 주제어: 이진법 게임, 3차원 도형, 행렬, 행 사다리꼴
2차원에서 이루어지는 작도개념을 3차원으로 확장시켜 여러 가지 입체도형을 작도하는 것을 목적으로 하였다. 2차원에서의 작도 도구를 3차원으로 확장시켜 평면을 그릴 수 있는 가상의 도구인 3D 자와 구를 그릴 수 있는 가상의 도구인 3D 컴퍼스를 정의하였다. 이를 이용하여 2차원에서의 기본적인 작도를 확장한 후 정다면체를 작도하였고, 회전체를 작도할 수 없음을 보였다. 3D 컴퍼스를 회전체를 그릴 수 있는 가상의 도구로 새롭게 정의하였고, 새롭게 정의한 3D 컴퍼스를 이용하여 세제곱근을 작도할 수 있음을 보였다. ▪ 주제어: 작도, 3차원, 정다면체, 회전체
우리는 중학교 때 삼각형의 닮음 조건만을 배우는데, 그 외의 다각형에 대해 배우지 않는다. 그래서 일반적인 볼록다각형의 닮음 조건을 밝히고자 본 연구를 진행하였다. 선행연구에 기반하여 볼록다각형을 삼각형들로 쪼개어 증명하는 방식을 기본적으로 사용했으며 수선을 기준으로 한 점을 대칭시키는 방법, 한 점을 중심으로 선분이나 도형을 회전시키는 방법, 길이 비를 모르는 변 위에서 두 선분을 움직이는 방법 등을 사용해 볼록 사각형의 닮음 조건임을 보이거나 반례를 찾았다. 먼저, 볼록 각형의 닮음을 판별하기 위한 조건의 최소 개수가 임을 보였다. 두 변과 끼인각 조건이 주어지면 삼각형을 없애 도형을 단순화시킬 수 있다는 논리를 이용해 볼록 다각형의 닮음조건을 모두 구하였다. 닮음: 다각형, 대각선, 일반화, 작도 ▪ 주제어: 닮음, 다각형, 대각선, 일반화, 작도
이 연구에서는 위성 위치 파악 시스템(GPS)을 사용할 수 없는 곳에서도 정확한 위치를 알아내기 위 한 방법을 기하를 이용하여 수학적으로 접근해 보고자 한다. 기존의 위치 측정 알고리즘을 기하적 방 법을 이용하여 개선하고 각 방법에 대한 타당성을 부여하였다. 블루투스 거리 송수신 모듈(HM10)을 이용하여 측정한 데이터를 이용하여 인공지능(AI)학습을 통해 실제 위치를 예측하고 그 구역에서의 보 다 정확한 위치를 기하적 방법으로 보완하여 더욱 정교하게 추론하고자 하였다. 서로 다른 4가지의 알 고리즘의 오차를 측정하여 가장 효율적인 방안을 도출하고자 하였다. 향후 이러한 알고리즘을 이용하 여 백화점이나 터널 지하 등의 위성위치파악시스템(GPS)이 작동하지 않는 곳에서도 정확한 위치를 예 측할 수 있다. 또한, 이를 통해 사회적 약자를 돕거나 재난 상황을 원활하게 해결할 수 있을 것이다. ▪ 주제어: 벡터, 삼변측량법, HM10, RSSI, 오차
ABSTRACT 이 논문의 목적은 삼차방정식의 해의 기하적 해법에 대해 학생 수준에서 스스로 탐구해보고 이를 동적기하 프로그램 Algeomath를 통해 구현해 내는 것이다. 특히, 우리는 계수가 양수인 삼차방정식 x세제곱+p+qx제곱+rx , x세제곰+bx=c , x세제곱+ax제곱=c 에 대해 이차곡선과 이차함수의 그래프를 이용하여 해를 구현해 보고 부피의 관점에서 창의적으로 탐구해보며 학생 수준에서의 증명 활동을 포함한다. 이 논문은 동적기하프로그램의 활용에 대한 영재교육 및 수업 주제로 사용될 수 있을 것이다. ▪ 주제어: 동적 기하 프로그램 AlgeoMath, 삼차방정식, 이차곡선
스타크래프트나 LOL 같은 RTS나 AOS 게임에서 m명으로 구성된 팀과 n명으로 구성된 팀이 싸우는 상황을 구현한다. (단, m>n) 이때 1:1의 전투만 성립한다는 가정 하에 m-n명이 살아남는다는 란체스터 제1법칙과 사방이 트여 있어서 협공이 가능하거나 발사형 무기를 사용, 화력을 한 쪽에 집중할 수 있다면 [루트 m제곱-n제곱]명이 살아남는다는 제2법칙인 리베르타의 법칙이 성립하는지 알아본다. 또한 캐릭터들의 체력이나 공격력과 방어력, 캐릭터들의 수를 바꿔 보면서 수가 많은 팀에서 어느 정도의 수가 살아남는지 예측해 보고, 효과적인 배치를 하는 법에 대해 탐구한다. ▪ 주제어: 란체스터의 법칙, 리베르타의 법칙, 전쟁의 양상 예측, 게임을 통한 시뮬레이션, 최적의 병력 배치
원통형 헥스는 헥스 변형 게임의 한 종류로 엔드 플레이어(위에서 아래로 연결)와 라운드 플레이어(옆면 둘레로 연결)의 두선수가 번갈아 가며 말을 놓아 먼저 연결하는 플레이어가 승리하는 기임이다. nx3 원통형 헥스 보드에서는 항상 엔드 플레이어가 승리한다는 사실이 알려져 있다. 따라서 우리는 nx5 원통형 헥스의 필승 전략을 탐구하였다. 수학적인 탐구로 5x5 원통형 헥스에서 엔드 플레이어가 선수나 후수이냐에 관계없이 항상 승리한다는 사실을 증명하였으며 6x5 원통형 헥스에스서는 엔드 플레이어가 어느 위치에 선수로 놓아도 항상 승리한다는 사실을 증명하였다. ▪ 주제어: Cylindrical Hex , Optimal strategy , Game theory , Winning strategy , Connection game