R&E FOR YOU(vol.08) - 공정성과 효율성을 고려한 가위바위보 게임의 그룹 분할 방법 최적화

들어가는 글

안녕하세요. 경기과학고에서 수학 연구를 진행한 구윤우, 권순민, 김현욱, 이민정 학생입니다. 저희는 '공정성과 효율성을 고려한 가위바위보 게임의 그룹 분할 방법 최적화'라는 주제로 1년간 연구를 진행하였습니다. 이 웹진을 통해 저희의 연구 경험을 짧게나마 소개해 보려 합니다. 부족한 글이지만 너그러이 읽어주신다면 감사하겠습니다.

우리의 연구를 한마디로 표현해 보자면 '몸으로 부딪치기'일 것 같다. 모순적이게도 네 학생 모두 수학 연구에 경험이 없었다. 지금껏 정보, 물리, 화학, 지구과학을 연구했던 학생들이 수학을 연구하기 위해 모인 것이다. 그렇다 보니 처음에는 무엇을 어떻게 해야 하는지도 잘 모르고 여러 가지를 몸으로 부딪치고 또 해결하며 연구를 진행하였다. 그러나 이렇게 겪었던 시행착오와 문제들이 우리에게만 해당되는 이야기는 아닐 것이다. 그래서 이 글을 통해 우리가 연구를 어떻게 진행하였고 어떤 문제를 해결하려 했는지 논문에서 볼 수 없는 연구 과정의 자세한 이야기를 풀어보고자 한다. 이 경험이 누군가에게는 큰 도움이 될 수도 있으니 말이다.

주제 선정 과정

연구 과정에서 가장 중요한 부분이라고 생각하는 주제 선정 부분이다. 주제를 명확하게 잘 잡아야 긴 연구 기간 동안 올바른 방향을 가지고 나아가며 동시에 의미 있는 연구를 할 수 있다. 또한 그렇기에 주제를 선정하는 과정이 전체 연구 과정 중에서 가장 어려운 부분이기도 하다. 처음부터 연구 주제를 가위바위보에 관련된 것을 생각한 것은 아니었다. 처음 팀원들이 모여서 아이디어를 내고 선정한 주제는 보드게임 '도블'이었다. 이 게임을 수학적으로 분석하고 일반화하여 새로운 형태의 보드게임을 제안하고자 하였다. 그 후로, 이에 관련된 파노 평면과 같은 수학적 이론들을 찾아보았다. 그러나 찾으면 찾을수록 그 원리를 이해하기 위해 이미 많은 연구가 진행되었고 처음 접하는 분야의 이론도 등장했다. 그래서 선행 연구와 이론적 배경을 새롭게 조사한 후, 또 다른 주제를 찾아보기로 하였다.

그렇게 해서 두 번째로 나오게 된 주제가 가위바위보였다. 가위바위보가 실생활에서 정말 자주 이용하는 가벼운 게임 중 하나인데 어떻게 하면 빠르고 공정하게 할 수 있을지 고민하게 되었다. 그래서 이 주제를 본 연구의 주제로 선정하게 되었다.

연구 과정

이 단락에서는 연구 과정 중 우리의 경험과 생각을 말하겠지만, 우리의 연구 내용 그 자체도 곁들여 소개해보겠다. 이것을 함께 이해해야 이 글 전체도 더 잘 와닿을 것 같기 때문이다. 조금은 긴 글이 될 수도 있겠지만, 인내심을 가지고 끝까지 읽어주시길 부탁드린다.

가위바위보는 다수의 사람 중 한 명의 승자를 결정할 수 있는 쉽고 간단한 방법이다. 하지만 많은 사람이 모여 한 번에 가위바위보를 진행하면 승부가 쉽게 나지 않기 때문에 승자를 결정하는 데에 오랜 시간이 소요된다는 단점이 존재한다. 그래서 보통은 가위바위보 참여자들을 몇 개의 소그룹으로 나누어 가위바위보를 진행하고, 각 소그룹에서의 승자를 모아 가위바위보를 진행시켜 최종적인 승자를 결정한다. 본 연구에서는 효율성 지표와 공정성 지표를 정의한 후 이를 토대로 평가함수를 계산하였다. 이를 통해 공정하면서도 빠른 시간 내에 가위바위보에 참여하는 사람들을 분배할 수 있는 최적의 분할 방법을 제시하였다.

연구를 시작하기에 앞서 우리 팀은 몇 가지 용어를 정의하였다. 분할이란, 가위바위보에 참여하는 모든 사람들을 한 개 이상의 소그룹으로 나누는 과정을 의미한다. 예를 들어, 7명의 사람을 2개의 소그룹으로 나누는 방법은 (1명, 6명), (2명, 5명), (3명, 4명)으로 총 3가지가 있다. 로드는 여러 사람 중 한 명의 최종적인 승자를 가리기까지 일련의 분할 과정을 의미한다. 우리 연구팀은 로드를 '8->3->1'처럼 숫자와 화살표를 이용하여 표기하기로 약속하였다. 이 로드는 8명의 참여자를 3개의 소그룹으로 나누고, 각 소그룹에서의 승자들 중 한 명의 최종 승자를 가려내는 상황을 나타낸다. 이때 '8→3'과 '3→1'처럼 각 소그룹에서의 우승자가 결정되는 과정을 '단계'라고 한다. 한 분할 단계에서의 효율성 지표는 그 단계에 결성된 모든 소그룹에서 우승자가 나오기까지의 평균 시행 횟수로 정의했다. 한 로드의 효율성 지표는 그 로드를 구성하는 각 단계에서의 효율성 지표를 모두 합한 값이다. 한 분할 단계에서의 공정성 지표는 각 참여자가 자신이 속한 소그룹에서 우승할 확률, 다시 말해 다음 단계로 진출할 확률의 표준편차 값으로 정의했다. 각 참여자가 다음 단계로 진출할 확률이 밀집되어 있을수록, 즉 공정성 지표가 작을수록 그 단계는 공정하다고 말할 수 있다.

그룹 분할 방법은 참여하는 인원수가 커짐에 따라 매우 가파르게 증가할 것이다. 우리 연구팀은 귀납적인 관찰을 기반으로 두 가지의 가정을 세웠다. 첫째, 최적의 그룹 분할 방법은 임의의 두 소그룹 간의 인원수 차이가 최대 1 차이 나도록 하는 것이다. 소그룹 간의 인원수 차이가 줄어든다면 공정성과 효율성 모두 개선될 것이다. 둘째, 최적의 그룹 분할 방법에서 각 소그룹의 인원수는 2 이상 5 이하이다. 관찰을 통해 30 이하의 참여 인원수에서 이 가정이 성립함을 확인할 수 있었으며, 다른 선행 연구들도 한 소그룹의 최대 인원수가 5라는 것을 뒷받침하였다. 하지만 이 가정은 귀납적인 추론에 가깝기 때문에, 이 가정에 대해서는 보다 엄밀한 증명이 필요하다.

연구를 진행하면서 가장 많은 시간을 할애한 곳은 바로 효율성 지표의 계산이었다. 효율성 지표를 계산하기 위해서는 연구를 진행하면서 정의한 P(m,r)이라는 함수를 r에 대하여 일반화해야 했다. 여기서 m은 한 소그룹의 인원수를 나타내는 5 이하의 자연수이고, r은 가위바위보를 시행한 횟수를 나타내는 자연수이다. 이민정 학생은 선형대수학 시간에 배운 마르코프 체인을 활용하여 P(m,r)을 일반화할 수 있지 않겠냐는 아이디어를 제시했다. 한 소그룹에서 가능한 인원수인 1, 2, 3, 4, 5를 각각의 상태로 설정한 마르코프 체인을 만들었다. 이 마르코프 체인의 마르코프 행렬을 거듭제곱하면 P(m,r)을 구할 수 있었다. 마르코프 행렬을 조르당 분해하여 P(m,r)을 r에 대해 일반화하였다.

주어진 인원수에 대해 앞서 세운 가정에 부합하는 가능한 모든 로드들을 탐색한 후 그 로드의 효율성 지표와 공정성 지표를 구하였다. 그 후 효율성 지표와 공정성 지표를 각각 정규화하였으며, 평가함수는 정규화된 두 지표의 선형 결합으로 정의했다. 이때 효율성과 공정성 중 어느 가치를 얼마나 더 중요하게 여길지에 따라 가중치를 변경할 수 있게끔 하였고, 이 연구에서는 두 가중치 모두 1을 사용하였다. 다만 사람들이 가장 만족하며 사용할 수 있는 가중치에 대해서는 추가적인 연구가 필요할 것으로 보인다. 정규화된 효율성 지표와 공정성 지표를 두 축으로 하는 2차원 평면에 모든 로드들을 점으로 나타내어 표시하고, 그중 평가함수 값이 가장 작은 로드를 찾으면 그 로드가 최적의 로드가 될 것이다. 이로써, 최적의 로드를 결정할 수 있는 이론적인 방법을 완성하였다.

이러한 과정을 거쳐 연구에 적용할 완벽한 수식을 고안해 냈지만, 문제가 하나 있었다. 이 수식을 손으로 계산하는 것은 거의 불가능에 가깝다는 것이었다. 역시 컴퓨터의 힘을 빌리는 수밖에 없었다. 다행히 우리 팀원들 모두가 c언어를 알고 있었기에 이를 사용하여 프로그래밍을 해보기로 하였다. 그런데 코드를 바로 짜기에는 조금 막연한 느낌이 있었다. 처리해야 할 수식과 그 논리적인 구조가 제법 거대했기 때문이다. 그래서 이 코드를 어떠한 짜임새로 작성할지 칠판에 우선 적어보았다. 코드의 전체적인 틀을 구성하고 세부적인 부분을 늘려가다 보니 처음에는 추상적이기만 했던 것들이 점차 구체화되기 시작했다. 이러한 손코딩의 작업을 거친 후, c언어에 가장 능숙한 구윤우 학생이 본격적으로 코드를 작성하기 시작했다. 윤우는 미국 여행을 갈 때의 비행기 안에서도 코딩을 할 만큼 프로그래밍에 몰두하였다. 그러한 열의에 감동받은 다른 팀원들은 더욱 열심히 연구를 진행할 수밖에 없었다.

물론 프로그래밍을 하는 과정이 순탄치만은 않았다. 컴퓨터가 우리보다 계산속도가 빠른 것은 사실이지만, 계산량이 너무 많을 경우에는 컴퓨터를 사용해도 시간이 오래 걸릴 수밖에 없다. 바로 우리의 연구가 그러했다. '최적의 로드'를 찾기에 컴퓨터의 연산속도는 턱없이 느렸던 것이다. 그래서 우리는 컴퓨터에게 요구되는 계산량, 즉 시간복잡도를 줄일 수 있는 방법을 함께 고민해 보았다. 이 과정에서 여러 가지 가정을 설정하기도 하였고, 코드를 더욱 효율적으로 짜기도 하였다. 그리고 마침내, 프로그램은 완성되었다. 코드를 실행시킨 결과... 단 몇 초 만에 '최적의 로드'를 구할 수 있었다! 이렇게 구한 최적의 로드는 선행 연구의 로드에 비해 훨씬 더 좋은 성능을 내었다. 그간의 노력이 빛을 발하는 순간이었다.

이렇게 프로그램의 구현을 마치며 문득 든 생각이 있었다. 만약 이 복잡한 코딩을 해내지 못했다면 우리의 연구가 완성될 수 있었을까? 이는 우리의 연구뿐만이 아니다. 최근의 거의 모든 연구에서 컴퓨터의 사용과 코딩은 필수적이다. 앞으로도 연구를 진행하는 데에 있어서 인간의 손으로는 풀 수 없는 수많은 식을 보게 될 것이다. 이를 해결하기 위해서는 결국 컴퓨터라는 도구를 얼마나 잘 사용할 수 있는지가 중요한 것 같다.

혹자는 이 연구를 단지 가위바위보만을 위한 연구라고 생각해 조금은 가볍게 여길지도 모르겠다. 우리 또한 같은 생각을 했었다. 이 연구가 가위바위보에만 국한된다면, 그 학문적 가치는 그리 높지 않을 것이다. 즉, 이 연구가 가위바위보 이상으로 어떠한 의의를 가질 수 있는지에 대해서도 생각해 보아야 한다. 팀원들끼리 머리를 맞대고 고민해 보았지만, 마땅한 아이디어가 떠오르지 않았다. 이 문제에 대해 새로운 안목을 제시해 주신 것은 어느 한 교수님이셨다.

2023년 9월, 이 연구가 한창 진행될 즈음 중간성과 공유회가 열렸었다. 이는 여러 창의 R&E 팀들이 모여 지금까지의 연구 진행 상황을 발표하고 교수님의 피드백을 받는 시간이다. 우리 팀 또한 발표를 마치고 난 후 교수님께서 말씀하시길 "이 연구를 다수의 의견 수렴 모델로서 확장하면 좋을 것 같은데?"라고, 피드백해 주셨다. 이 한마디 덕분에 우리 연구의 응용 가능성이 조금은 보이기 시작했다. 이후 이 논의를 어떻게 발전시키고 우리 연구가 어떠한 의의를 가질 수 있는지에 대해 더 깊이 있게 생각해 보았다. 이에 대한 구체적인 내용이 궁금하시다면 저희의 연구보고서 혹은 논문을 참고해 주십시오.^^

이처럼 전문가의 소견, 혹은 제삼자의 시각은 언제나 필요한 법이다. 이 글을 읽고 있는 중고등학생이 있다면 반드시 지도교사, 교수님들의 말씀을 잘 귀담아듣길 바란다.

시행착오

이번 연구를 진행하면서 겪었던 가장 큰 어려움은 주제 선정이었다. 팀원들이 각자 경험이 있는 연구 분야가 각각 수학, 물리, 정보과학, 지구과학 등으로 다양했던 만큼 오히려 어떤 주제를 선정해야 모두의 적성에 맞고, 보람차고 유용한 연구를 진행할 수 있을지 고민이 많았기 때문이다. 처음에는 도블이라는 보드게임에서 영감을 얻어 그래프 이론 관련 연구를 진행하기 위해 6시간 이상을 투자해 보았지만, 고등학생 수준에서 연구하기에 난이도가 너무 어렵다고 판단하였다. 결국 그래프 이론 외에도 수학 분야에서 재미있게 연구할 만한 분야를 찾아보기 위해서 선행 연구를 조사하던 결과, 가위바위보의 인원 분배에 관한 연구를 찾게 되었다. 일상적인 소재이면서 생각보다 더욱 연구하고 분석할 부분이 많다는 사실을 깨닫게 되었고, 특히 선행 연구들에서 다루지 않은 가위바위보 인원 분배 방법의 공정성에 대한 부분을 중심으로 연구를 진행하기로 결정하였다.

또 다른 큰 시행착오는 시뮬레이션 구현에 있었다. 비록 팀원 모두가 학교에서 1년 반 동안 C++ 프로그래밍 수업을 들은 만큼 코딩 실력은 뛰어났지만, 가위바위보의 인원을 분배한다는 추상적인 개념을 시뮬레이션으로 구체화하는 과정이 힘들었기 때문이다. 결국 권순민 학생을 포함해 모든 팀원들이 머리를 모아 용어 정의부터 차근차근 진행한 결과, 가위바위보 인원 분배를 수학적으로 표현할 수 있었고, 결국 이를 200줄 상당의 코드로 표현할 수 있었다. 한편 시뮬레이션의 큰 시간 복잡도도 문제였는데, 이를 해결하기 위해서 수학적으로 타당한 몇 가지 가정을 세운 뒤, 이를 기반으로 코드를 재구현하였다.

가위바위보의 시행 횟수를 구하는 과정에서 P(n,r)이라는 함수의 값을 계산해야 했다. 이때 n은 5 이하, r은 무한대에 이르는 정의역에 대해서 P(n,r)을 계산해야 했으므로 이를 일반화하는 식을 유도하려 하였다. 그런데 확률과 통계 개념만 이용해서 이를 일일이 계산하려면 10페이지가 넘는 계산 분량이 나왔고, 이마저도 n=5일 때에 대해서는 마무리를 짓지 못했다. 이 과정에서 이민정 학생이 선형대수학에서 배웠던 마르코프 체인과 행렬의 거듭제곱 개념을 이용해서 이를 일반화할 수 있지 않겠냐는 아이디어를 제시했다. 결국 Q(n,m)값으로 이루어진 마르코프 행렬을 조르당 대각화한 다음, 이의 거듭제곱을 계산하여 연구에서 필요한 P(n,r)을 일반화할 수 있었다.

이처럼 연구를 진행하면서 여러 시행착오를 겪었는데, 이를 극복할 수 있었던 이유 중 하나는 리더 역할을 맡은 김현욱 학생의 노력 덕분이다. 현욱 학생은 연구 중 직면한 여러 수학적인 문제들을 능숙하게 풀어나갔을 뿐 아니라, 각종 데드라인이나 과제를 확인하고 팀원들이 지칠 때마다 독려해 주었다. 뿐만 아니라 지도교사 박재희 선생님의 조언과 칭찬의 말씀도 연구가 어려울 때마다 큰 도움이 되었다.

포스터 발표회 및 논문 작성

6개월이 넘게 진행한 연구를 발표하기 위해, 교내 다른 여러 팀들과 함께 포스터 발표회에 참여하였다. 포스터 발표회를 준비하기 위해, 시험 기간이 끝나자마자 모든 팀원들이 매일 모여 포스터를 제작하고 추가 연구를 진행하였다. 발표는 구윤우 학생이 맡아 하였는데, 발표 전날 모든 팀원이 모여 발표를 수차례 검토해준 덕분에 많이 어설펐던 발표의 전달력을 더욱 높일 수 있었다. 실제 발표 당시에는 많이 긴장하였지만, 그럼에도 수학 분야 교수님께 우리가 직접 연구한 결과물을 소개하고 피드백을 받을 수 있는 귀중하고 보람찬 시간이었다. 또한 우리 팀 말고도 틱택토 연구나 인공지능 연구, 알고리즘 연구 등 흥미로운 연구들이 많았고, 이와 같은 연구들의 포스터를 읽어보는 일도 의미 있었다. 가상 발표회에서 우리 연구를 인상 깊게 보았다는 다른 학교 친구가 찾아와서 우리 연구를 설명해 주었는데, 학생들끼리 서로 소통할 수 있는 뜻깊은 시간이었다고 생각한다. 결국 이렇게 열심히 발표한 결과 혁신 도전상과 지도교사상까지 수상할 수 있었다.

논문을 작성할 때에는 방학이라서 온라인으로 소통해야 하는 어려움이 있었다. 하지만 구체적인 계획을 세우고 각자 맡은 일을 해내고, 지도교사 선생님께 수차례 피드백받는 과정을 통해서 결국 학회지에 논문을 제출할 수 있었다.

느낀 점

경기과학고등학교 구윤우 이번 연구를 통해서 서로 다른 분야에서 온 팀원들이 함께 모여, 각자의 지식과 경험을 융합하여 수학 연구를 성공적으로 수행할 수 있음을 볼 수 있었다. 나는 기존에 진행한 연구가 대부분 정보과학 연구였기에 수학 연구를 잘 진행할 수 있을지 자신이 없었다. 하지만 정보과학 연구 경험에서 얻은 프로그래밍 기술과 확률과 통계 지식을 활용하여 인원 분배 시뮬레이션을 구현하고, 발표 능력을 통해 연구 결과를 효과적으로 전달하는 등 연구에 여러 방면으로 기여할 수 있어 보람찼다. 팀원들 간의 활발한 의견 교환과 학습 내용의 실제 적용, 꾸준한 노력을 통해 본래의 연구 분야를 벗어나더라도 뛰어난 결과를 도출할 수 있다는 것을 경험했다. 또한, 일상생활에서 흔히 접할 수 있는 주제로 연구를 진행함으로써 연구에 대한 흥미와 관심을 더욱 높일 수 있었다. 이는 연구 주제 선정이 연구의 성공에 있어 매우 중요한 요소임을 다시 한 번 확인시켜 주는 귀중한 경험이었다.

경기과학고등학교 권순민 1년이란 긴 시간 동안 연구를 하며 정말 많은 일이 있었다. 예상하지 못한 일도 많았고 계획대로 흘러가지 않는 일도 정말 많았다. 다른 분야에서 두각을 드러내는 여러 친구들과 함께 공통된 주제를 연구하며 일을 나누고 같이하며 연구하는 여러 방법에 대해서 알 수 있었다.
첫 번째로 '소통'에 대해서 알 수 있었다. 여러 사람이 한 번에 같이 연구하다 보니 개인이 진행한 부분에 대해서 팀에게 확실하게 전달해야 제대로 된 협력을 할 수 있었다. 초반에는 서로의 진행 사항을 팀에게 전달하는 데에 많은 시간을 소비했지만, 시간이 점점 지날수록 서로가 하는 일에 대해 확실히 알고 있었다. 그러다 보니 연구를 하다 막히는 부분이 있어도 빠르게 해결이 가능했다. 특히, 서로의 연구 분야를 합쳐야 할 때 소통은 빛을 발했다. 이런 경험을 통해 협력에 있어서 소통의 중요성을 알 수 있었다.
두 번째로 '연구의 확장'에 대해서 알 수 있었다. 주제가 '공정성과 효율성을 고려한 가위바위보 게임의 그룹 분할 방법 최적화' 이다 보니 가벼워 보일 수 있다는 단점이 있었다. 그래서 이런 점에 대해 여러 조언이 있었고 공통적으로 연구를 한정 짓지 말고 새로운 분야에 접목해 보라는 의견이었다. 그래서 연구를 어떻게 확장할 수 팀원들과 의논했다. 이 주제를 확장해 보려 했으나 시간이 부족해 아쉽게 큰 성과는 없었다.
1년 동안 많은 시간을 투자하며 연구를 꾸준히 해왔는데 생각보다 많은 성과와 배울 점이 있었다.

경기과학고등학교 김현욱 1년 전, 나는 단지 수학 문제를 푸는 것에 흥미를 느껴 이 연구를 시작했었다. 그러나 연구를 한다는 것은 문제를 푸는 것과는 느낌이 사뭇 달랐다. 주제 선정부터 연구 과정, 그리고 결론을 도출하는 데까지 어느 것 하나 빠짐없이 정해져 있지 않은 답을 찾아나가야 했다. 그렇기에 더욱 고되었지만, 스스로 연구를 설계하고 평소와는 조금 다르게 뇌를 써볼 수 있어 무척 뜻깊은 시간이었다. 특히 우리의 연구가 기존의 연구를 개선시킨 성과를 내었을 때 가장 기뻤다. 이렇게 좋은 결과로 연구를 마무리할 수 있었던 것은 전부 우리 팀원들, 그리고 지도교사 선생님 덕분이다.
1년을 돌아보니, 이 연구에 꽤나 많은 시간을 투자한 것 같다. 작은 연구에도 정말 많은 노력이 들어간다는 것을 실감할 수 있었다. 하지만 그 시간과 노력만큼 연구에 대한 값진 경험을 얻어갈 수 있었고, 그 과정에서 내가 한층 더 성장한 것 같다. 앞으로도 연구 활동을 활발히 하여 우리 사회에 조금이라도 더 기여하고 싶다.

경기과학고등학교 이민정 가위바위보라는 연구 주제는 다른 사람들이 보기에는 쉬워 보일 수 있지만, 전혀 쉬운 연구는 아니었다. 하지만 가위바위보는 실생활에서 아주 쉽게 접할 수 있기 때문에, 연구를 하면서 흥미를 느낄 수 있었다. 이번 연구는 전진과 멈춤이 반복되었던 연구인 것 같다. 누군가가 획기적인 아이디어를 제시하면 그 아이디어를 가지고 연구를 진행하다가, 다시 난관이 생기면 또 다른 누군가가 아이디어를 제시한 순간이 많았다. 본인의 경우 함수를 일반화하기 위해 선형대수학에서 배운 마르코프 체인을 적용하면 된다는 아이디어를 내기도 했다. 이처럼 팀원들 간의 활발한 의사소통을 통해 우리 연구가 부족한 점을 보완하고 또 학교에서 배운 내용을 적용하여 연구 내용을 발전시킬 수 있었다. 이론적인 방법 및 수식을 연구한 학생들과 코딩을 통해 결과를 추출하는 학생들 간 활발한 의견 교류가 있어 이번 연구를 성공적으로 마칠 수 있었던 것 같다. 어떤 교수님께서는 이 연구를 사회적인 상황에서 의견 수렴 모델을 만드는 데 응용하면 좋을 것 같다고 제언해주셨다. 이 연구를 단순히 가위바위보만을 위한 연구로 남길 것이 아니라, 사회적인 측면으로의 확장을 통해 더 실용적이고 발전적인 연구를 할 수 있을 것으로 보인다.

글을 마치며

지금까지 팀이 1년 동안 연구를 어떻게 진행했는지에 대해 썼다. 수학 연구를 한 번도 해보지 않았던 4명의 친구들이 바닥부터 천천히 올라온 이야기였다. 연구를 진행하는 기간 동안 정말 많은 어려움이 있었지만 4명이 함께 이를 해결하였다. 서로가 서로의 부족한 점을 채워주고 서로의 강점을 잘 활용하여 좋은 협력의 결과물이 나올 수 있었다고 생각한다.

감사의 글

우선 저희 연구가 올바른 방향으로 나아갈 수 있도록 도와주시고 언제나 곁에서 독려해 주신 지도교사 박재희 선생님께 감사드립니다. 또한 저희에게 소중한 연구 경험을 제공해 주신 창의연구지원센터에 감사드립니다. 마지막으로 저희 연구가 잘 마무리될 수 있도록 힘써주신 모든 분들께 감사드립니다.