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정보화 사회가 발전하면서 암호에 대한 중요성이 나날이 커짐에 따라 암호에 대한 수학적 알고리즘 연구들이 활발히 진행되고 있다. 보통 비밀번호라는 암호에 대한 수학적 연구는 현재 많이 진행되고 있지만, 암호문이라는 문장에 대한 수학적 알고리즘에 대한 연구는 상대적으로 적은 편이다. 본 연구는 일반 휴대폰에서 사용하는 암호로 비밀번호가 아닌 기하학을 이용해 암호화 해보고자 한다. 먼저 공개키 암호 알고리즘과 비대칭키 암호 시스템을 기본으로 하여 Diffe-Hellman Algorithm 과 반전기하를 이용해 알파벳 26자와 공백(스페이스)까지 총 27자를 공개키로 변환한다. 공개키를 이용해 3차원 구면좌표계에 암호문을 나타내고 이를 사영 시켜 2차원의 암호로 만들어보고자 한다. 이렇게 구상한 암호를 직접 프로그래밍 언어에 기반한 시뮬레이션을 통해 생긴 문제를 해결 및 보완하여 암호화 방식에서 효율성을 확인해 보고자 한다.
행렬은 연립방정식의 해를 구하는 것을 더욱 간편하게 하기 위해 만들어진 도구이다. 본 연구에서는 행렬의 분해 방법에 대해 알아보고자 한다. 행렬의 분해란 어떠한 행렬을 특정한 구조를 가진 다른 행렬의 곱으로 나타내는 것으로 행렬 계산을 더욱 효율적으로 할 수 있도록 해준다. 본 연구를 통해 LU 분해, QR 분해 등의 행렬 분해 방법과 그 예제를 알아보고 이들의 장단점을 비교해보았다.
본 연구는 더 효율적 교실 사용을 위한 교과교실제가 도입되는 것을 고려하여 앞으로 학생들이 이동수업으로 인하여 효율적인 동선을 위함을 목표로 한다. 시간표 행렬과 각 반의 이동 거리 행렬을 만들어 행렬의 곱을 이용하여 각 반의 이동 거리 합을 구하여 가장 최소한의 거리를 효율적인 경로라 생각하여 각 반의 이동 거리를 가장 짧은 경로를 선택한 후 반복 실행을 통해 가장 효율적인 시간표를 찾기로 하였다. 계단을 오르내리는 경우에서는 일반적인 경우 오르는 속력과 내려가는 속력이 달라지기 때문에 사람의 속력과 걸린 시간을 측정하여 복도에서 걸었을 때를 가정한 거리를 구하여 더하거나 뺐다. 이동 거리 행렬이 대칭 행렬이 아니라는 점에서 파이썬 코드를 이용해 이동 거리의 합을 구하는 알고리즘을 생각하여 최적의 이동 거리 합을 구하였고 시간표의 조건에 맞는 시간표만을 선택하였다. 이것으로 다양한 방면에서 시간표를 결정하는데 도움이 될 수 있을 것이다. ▪ 주제어: 교과교실제, 최적화, 객관화, 행렬, 시간표
식물에서 잎 사이의 각도와 간격에 따른 빛을 받는 면적을 비교해 가장 이상적인 식물의 모형을 탐구하였다. 잎 사이의 각도는 27°, 54°, 81°, 108°, 135°로 정하고 잎 사이의 간격은 1cm, 2cm, 3cm로 정한다. 잎의 개수는 10개로 동일하게 하여 빛을 비추는 각도 또한 30°, 60°, 90° 다르게 하여 빛을 받는 면적을 평균내어서 비교하였다. ▪ 주제어: 광합성, 나뭇잎, 배열, 일조량
코로나바이러스의 전 세계적 유행으로 인하여 전 세계가 이전과 비교하여 겪어보지 못한 위기를 겪고 있다. 이 연구에서는 바이러스가 전파되는 양상을 효소의 반응으로 간주하여 수학적으로 미카엘리스-멘텐 방정식과 효소 반응 속도론을 이용해 모델링 하고자 하였다. 또한 어떤 요인이 바이러스의 전파에 큰 영향을 미치는지 확인하기 위하여 상관계수와 선형회귀분석을 이용하였다. 더 나아가 본 연구에 사용된 방법을 이용하여 코로나바이러스뿐만 아니라 다른 전염병의 경우도 분석할 수 있을 것으로 예측된다. ▪ 주제어: 미카엘리스-멘텐 방정식, 효소 반응 속도론, 빅데이터, 선형회귀분석, 상관계수
픽의 정리는 격자점 위의 도형에서 넓이와 변 위의 점, 도형 내부의 점 개수에 대한 정리이다. 격자점 위의 도형의 넓이를 구하는 것은 가우스의 면적 공식으로 도출할 수 있고, 변 위의 점은 최대공약수를 활용해 얻을 수 있는 반면, 내부의 점 개수를 구하는 과정만 픽의 정리를 제외하고는 존재하지 않는다. 따라서, 픽의 정리는 주로 다른 요인을 다른 공식을 통해 얻고 내부의 점 개수를 구할 때 많이 사용이 되어졌는데, 본 연구에서는 이를 반대로 내부의 점 개수를 통해 넓이의 범위를 구해보고자 한다. 넓이의 최대를 규명하는 과정은 직각삼각형에서 변의 개수에 따라 경우를 나누어 증명을 진행하였고, 최소를 얻는 과정은 픽의 정리를 통해 진행하였다. 마지막으로, 수학적 증명을 통해 얻어낸 결과를 코딩으로 검증해보는 과정을 통해 수학적으로 얻어낸 결과를 검증해 보았다.
본 연구에서는 반복해서 합성된 함수의 다양한 성질과 원리를 연구한다. 함수 f(x)에 대하여 f(x)를 거미줄 그림을 이용해 합성했고, 수열 f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … 의 x값에 따른 수렴∙발산 여부와, 수렴한다면 그 값을 고정법 반복법을 통해 알아본다. 뉴턴 방법을 통해 방정식의 근을 찾고, 각 근으로 수렴하는 견인점들의 영역들을 채색하였다. 그리고 이를 복소평면으로 확장하여 프랙탈 이미지를 얻었다. 눈송이 모양, 반복적인 형태의 브로콜리 모양, 징그러운 벌레 모양 등 자연에서 나타나는 프랙탈 모양들을 유사하게 재현하고자 뉴턴 방법, 만델브로트 방법에 기초한 방법과 이를 변형 확장한 방법을 Matlab 소프트웨어에서 적용하고 다룬다. ▪ 주제어: 실수차수 다항함수의 합성함수, 뉴턴 방법, 만델브로트 집합, 프랙탈 이미지, n-사이클
편미분 방정식은 크게 선형과 비선형으로 나눌 수 있는데, 선형 편미분 방정식에는 열방정식이 있고, 비선형 방정식에는 Allen-Cahn equation 등이 있다. 우리는 이 두 미분 방정식에 집중을 하였다. 우선 열방정식의 작용소 분리방법에 대해 탐구했는데, 이는 operator splitting method를 이용하여 시간을 공간으로 나타내면 된다. 또한 Allen-Cahn equation을 이용하여 시간과 공간을 편미분을 사용하여 식으로 변환하였다. 열전도에 대하여 유한차분법을 이용하여 식을 만들었고, 이는 비선형 방정식의 정확해를 구하기 위함이다. 또한 Crank Nicolson method를 적용하여 phi 사이의 점화식을 t를 이용하여 나타내고, t를 절반으로 줄여 정리하면 식이 나온다. 이 식에서 alpha를 변형하여 fractional power 의 효과를 확인하였다.