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코로나바이러스의 전 세계적 유행으로 인하여 전 세계가 이전과 비교하여 겪어보지 못한 위기를 겪고 있다. 이 연구에서는 바이러스가 전파되는 양상을 효소의 반응으로 간주하여 수학적으로 미카엘리스-멘텐 방정식과 효소 반응 속도론을 이용해 모델링 하고자 하였다. 또한 어떤 요인이 바이러스의 전파에 큰 영향을 미치는지 확인하기 위하여 상관계수와 선형회귀분석을 이용하였다. 더 나아가 본 연구에 사용된 방법을 이용하여 코로나바이러스뿐만 아니라 다른 전염병의 경우도 분석할 수 있을 것으로 예측된다. ▪ 주제어: 미카엘리스-멘텐 방정식, 효소 반응 속도론, 빅데이터, 선형회귀분석, 상관계수
픽의 정리는 격자점 위의 도형에서 넓이와 변 위의 점, 도형 내부의 점 개수에 대한 정리이다. 격자점 위의 도형의 넓이를 구하는 것은 가우스의 면적 공식으로 도출할 수 있고, 변 위의 점은 최대공약수를 활용해 얻을 수 있는 반면, 내부의 점 개수를 구하는 과정만 픽의 정리를 제외하고는 존재하지 않는다. 따라서, 픽의 정리는 주로 다른 요인을 다른 공식을 통해 얻고 내부의 점 개수를 구할 때 많이 사용이 되어졌는데, 본 연구에서는 이를 반대로 내부의 점 개수를 통해 넓이의 범위를 구해보고자 한다. 넓이의 최대를 규명하는 과정은 직각삼각형에서 변의 개수에 따라 경우를 나누어 증명을 진행하였고, 최소를 얻는 과정은 픽의 정리를 통해 진행하였다. 마지막으로, 수학적 증명을 통해 얻어낸 결과를 코딩으로 검증해보는 과정을 통해 수학적으로 얻어낸 결과를 검증해 보았다.
본 연구에서는 반복해서 합성된 함수의 다양한 성질과 원리를 연구한다. 함수 f(x)에 대하여 f(x)를 거미줄 그림을 이용해 합성했고, 수열 f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … 의 x값에 따른 수렴∙발산 여부와, 수렴한다면 그 값을 고정법 반복법을 통해 알아본다. 뉴턴 방법을 통해 방정식의 근을 찾고, 각 근으로 수렴하는 견인점들의 영역들을 채색하였다. 그리고 이를 복소평면으로 확장하여 프랙탈 이미지를 얻었다. 눈송이 모양, 반복적인 형태의 브로콜리 모양, 징그러운 벌레 모양 등 자연에서 나타나는 프랙탈 모양들을 유사하게 재현하고자 뉴턴 방법, 만델브로트 방법에 기초한 방법과 이를 변형 확장한 방법을 Matlab 소프트웨어에서 적용하고 다룬다. ▪ 주제어: 실수차수 다항함수의 합성함수, 뉴턴 방법, 만델브로트 집합, 프랙탈 이미지, n-사이클
편미분 방정식은 크게 선형과 비선형으로 나눌 수 있는데, 선형 편미분 방정식에는 열방정식이 있고, 비선형 방정식에는 Allen-Cahn equation 등이 있다. 우리는 이 두 미분 방정식에 집중을 하였다. 우선 열방정식의 작용소 분리방법에 대해 탐구했는데, 이는 operator splitting method를 이용하여 시간을 공간으로 나타내면 된다. 또한 Allen-Cahn equation을 이용하여 시간과 공간을 편미분을 사용하여 식으로 변환하였다. 열전도에 대하여 유한차분법을 이용하여 식을 만들었고, 이는 비선형 방정식의 정확해를 구하기 위함이다. 또한 Crank Nicolson method를 적용하여 phi 사이의 점화식을 t를 이용하여 나타내고, t를 절반으로 줄여 정리하면 식이 나온다. 이 식에서 alpha를 변형하여 fractional power 의 효과를 확인하였다.