유클리드 기하에서의 반전(Inversion) 탐구 및 확장 > 논문 검색첫페이지로 이동

기하학에서 일반적인 변환은 평행이동과 같은 선형변환이다. 반전(Inversion)은 그 정의가 원에 한정되어 있어서 활용이 쉽지 않다.
본 연구에서는 반전의 성질들을 GeoGebra로 관찰하고 분석, 증명하였다. 원과 직선을 반전하였을 때의 도형의 방정식을 선형변환을 이
용하여 유도하였다. 그리고 원을 기반으로 하는 도형, Arbelos와 Apollonian gasket에 반전을 적용하여 특징들을 발견하였다. 이들 위
에 존재하는 특정한 원들을 반전함으로써 나타나는 성질을 증명하고 GeoGebra로 구현하였다. 그리고 반전의 확장에 있어서 타원에서의
반전을 새롭게 정의하였다. 연구의 편의를 위해 정의를 이용하여 GeoGebra에서 타원에서의 반전 도구를 제작하였으며 점을 바탕으로
기본적인 도형의 타원에서의 반전을 탐구하고, 더 나아가 매개변수 방정식을 활용하여 변환 결과들의 자취를 표현하였다. 또 기존의 반
전과 타원에서의 반전에서 모두 만족하는 성질들을 찾아 반전이 보존하는 근본적인 성질에 대해 탐구하였다. 타원으로의 반전 확장은 반
전이 가지고 있는 일부 성질들을 알아내는데 크게 기여했다. 타원으로의 확장은 앞으로 반전 자체에 대한 심도 있는 연구가 이어질 수 있
도록 초석을 제공할 것이라 예상한다.

In geometry, it is said that transformations are referred to linear transformation like parallel translation. Inversion is not easy to apply
since its definition is limited to a circle. First of all, we observed, analyzed and proved some properties of inversion with GeoGebra
in this study. We induced some equation of figures when circles and straight lines are transformed under inversion by using linear
transformation. The formulas also applied to Arbelos and Apollonian gasket, and then we discovered the properties of them. After
transforming the circles on Arbelos and Apollonian gasket, we found and proved new properties of the two figures, and visualized them
with GeoGebra. Furthermore, we were able to coin ‘Ellipse Inversion,’ whose definition is expanded from inversion. We classified the
results from transforming a point, a straight line, a circle and an ellipse with an ellipse. As a further step, we showed the locus of figures
by using parametric equations. All study was based on ‘tool’ that we invented with GeoGebra. We also revealed some fundamental
properties preserved in a circle and an ellipse inversion. We expect that ‘Ellipse Inversion’, which is invented by us, will provide a basis
of research to expand the field of inversion.