초록(국문)
본 연구는 4차 펠 방정식의 해를 구하는 방법과 해들 사이의 관계를 찾아낸 연구이다 . 4차 펠 방정식은 (x2+dz2-2dyw)2-d(y2+dw2-2xz)2=±1 의 d가 자연수일 때 정수해 (x, y, z, w)를 구하는 문제로, 우리는 d가 완전제곱수가 아닌 자연수일 때를 연구하였다. 먼저 2차 펠 방정식과 관련된 간단한 (q, 0, s, 0)꼴의 해를 구했다. 이 해 이외에도, 가 특수한 경우일 때 인수분해와 식 변형을 이용하여 4차 펠 방정식의 해를 구했고, 가 특수한 경우가 아닌 일반적인 경우일 때, 4차 펠 방정식의 해를 구하는 알고리즘을 만들어 모든 경우에 부분적으로 정수해를 구할 수 있게 되었다. 또한, 새롭게 정의한 semi norm form을 도입해 4차 펠 방정식을 2차 펠 방정식처럼 생각할 수 있게 되었다. 이로 인해 Type A인 해들이 4차 펠 방정식의 해집합의 부분군이 됨을 증명하였다. 또 이를 통해 더 일반적인 해들의 관계에 대해 알 수 있었고, 의 값에 따라 A(x, y, z, w)=1이 되는 해가 존재하는지 존재하지 않는지 즉, d의 값에 따라 semi norm form이 어떤 값을 가질 수 있는지에 대해 탐구하였다.
초록(영문)
This research is on quartic Pell's equation. There are many researches and papers on quadratic Pell's equation, but few on quartic
Pell's equation. Hence we researched quartic Pell's equation. In the first chapter, we think about many ways to solve quartic Pell's
equation. The first method can prove Pell's equation efficiently, but it is just a special case. Thus, in the second chapter we think many
algorithms to prove quartic Pell's equation. Even though our method is not perfect, it can be a key of many other higher-degree Norm
Form Diophantine equations. In the third chapter, we research the relation of quartic Pell's equation's solution. We divide the solutions of
quartic Pell's equation by Type A, which satisfying y2+sw2-2dyw=0, and Type B. In the research process, we make a new polynomial
called a semi norm form, which can show us the relation of quartic Pell's equation's solution. We can prove the set of all Type A
solutions forms a subgroup of group of all solutions of quatic Pells equation very easily. Also by the solution of semi norm form so that
we can prove the relation of quartic Pell's equation's solution. In the fourth chapter, we research the value of the semi norm form. Also,
with the introduction of semi norm form, we can infer the relations among the general solutions and the existence of the solution in
A(x, y, z, w)=1, which made possible further research about what value is determined depending on the d.