x2 + axy + by2 =±1 형태의 이차 디오판틴 방정식의 해에 관한 연구 > 논문 검색첫페이지로 이동

본 연구는 노름 형식 디오판틴 방정식(Norm Form Diophantine equation) 중에서 이차곡선의 형태를 갖는 방정식의 정수해와 이들
성질을 탐구하는 것이다. 노름 형식(Norm Form)의 디오i틴 방정식의 해들의 집합에 특정한 modular 연산을 정의하고 이를 이용하여
해들의 순환구조나 해들 사이에 존재하는 점화식의 발견，방정식의 해들이 군을 이루므로 이들 군의 생성원(generator) 구하기 등 여러 흥
미로운 수학적 사실들을 발견할 수 있었다. 먼저 각 판별식에 따라 타원，쌍곡선으로 나누어 연구를 진행하였다. 노름 형식의 디오판틴 방
정식의 그래프가 타원 형태일 때는 판별식의 값에 따라 정수해의 개수가 2개，4개，6개 중 하나로 결정됨과 생성원의 거듭제곱의 결과가 일
정한 방향으로 순환하는 것을 확인할 수 있었다. 또한 해들이 이루는 사각형 혹은 육각형이 항상 일정한 넓 이를 유지하는 것과 타원의 넓 이
가 판별식을 포함한 형태로 나타난다는 사실도 확인하였다. 노름 형식의 디오판틴 방정식의 그래프가 쌍곡선인 경우에는 판별식이 같은 방
정식들의 해들이 서로 특이한 관계가 있음을 방정식들의 해들의 생성원와 이들을 거듭제곱한 것들을 비교함으로써 밝힐 수 있었다. 각각의
방정식의 해를 구하는 문제는 잘 알려져 있지만 판별식이 같은 방정식들의 해들 사이에 특별한 관계가 있음을 밝힌 것은 본 연구의 가장 주
요한 성과 중의 하나이다.

This study examines the integer solutions of Norm Form Diophantine equation which have quadratic curve formula and their properties. With a particular modular arithmetic on the set of solutions of NFD, many impressive mathematical facts were discovered, such as the cyclic formation or recurrence formula among the solutions, and the generator of a group made with the solutions. First, we did a study with separating the circumstances by the shape of the graph, which depends on the value of discriminant. When the graph is an ellipse, the number of integer solutions of NFD is one of 2, 4, and 6, depending on the discriminant. Also the exponentiation of the generator cycles in a fixed direction. Additionally, the tetragon or hexagon made from the solutions has a constant area, and the area of the ellipse is described in the term of the discriminant. When the graph of NFD is a conjugate hyperbola, we clarified that solutions of equations with the equal value of discriminant have a particular relationship, by comparing the generators and their exponentiation. It is well known how to find the solution of each equation, but revealing that there is a special connection among the solutions of equations with the same discriminant is one of the major accomplishment of this study.