비교대 매듭의 최소호표현에 대한 연구 > 논문 검색첫페이지로 이동

삼차원 공간에 들어있는 단순폐곡선을 매듭이라고 하며 모든 매듭은 호표현을 가지고 있다. 호표현은 동일한 축에 펼쳐진 유한개의 반평면의 각 면에 한 개씩의 반원을 배치해 연결시킨 매듭의 모양을 말한다. 한 매듭의 모든 호표현 중 가장 적게 사용된 반평면의 개수를 매듭의 호지수라고 부르고 이때의 호표현을 최소호표현이라고 부른다. 최소호표현은 매듭 불변량 중 하나인 플뢰어 호몰로지를 계산하는 데에 사용되는 등 다방면에 활용되므로 최소호표현을 구하는 작업은 중요하다.
본 연구에서는 엇갈림수가 13이고 호지수가 13인 비교대 매듭 3250개의 최소호표현을 그물그림으로 표현하였다. 최소호표현을 얻기 위해 엇갈림의 정보를 매듭의 최대수형도에 담아 호표현의 정보를 읽어내는 방법인 생성 트리 방법을 응용하였다. 비교대 매듭에 대해서는 줄일 spoke가 적어도 두 개 존재하는데, 이를 일반적으로 줄이는 방법이 알려지지 않았다. 따라서 본 연구에서는 비교대 호를 양 끝의 높이 차가 최소인 spoke로 만드는 알고리즘을 고안하여 최소호표현을 구하였고, 최종적으로 여러 가지 매듭 계산 도구를 이용하여 해당 그물그림이 원래의 매듭과 동일한 매듭인지 검증하여 3250개 모두 일치하는 것을 확인하였다. 본 연구에서 고안한 비교대 호 2개를 줄이는 알고리즘은 최소호표현이 아직 구해지지 않은 매듭들에 대해 효과적으로 구할 수 있는 방법이 될 것으로 기대한다.

A knot denotes a simple closed curve in a three-dimensional space. An arc presentation is an embedding of a knot contained in the union of finitely many half planes with a common boundary line so that each half plane contain an embedded single arc. The arc index is the minimal number of half plane among a knot’s all arc presentations, and minimal arc presentation gives the knot’s arc index. Considering that minimal arc presentation is used to calculate floer homology, an invariant of knots, an extended knowledge in minimal arc presentation is crucial in understanding knots.
The study finds minimal arc presentation of 3250 non-alternating knots with 13 arc index and 13 crossings and expresses as a grid diagram. For obtaining minimal arc presentation, the study used the filtered spanning tree method, which decodes arc presentation by putting the crossing information into the maximum tree diagram. For non-alternating knots, at least two spokes could be reduced. However, the minimal a