초록(국문)
"본 연구에서는 매듭 또는 고리의 그림에 특정 조건을 만족하는 색칠하기에 대해서 연구했다. 기존에 정의되어있는 -색칠 가능성이라는 불변량에서, -색칠을 위해서는 주어진 매듭그림의 색칠 과정 중에서 엇갈림마다 하나의 선형합동식을 만족해야 한다. 본 연구는 이 선형합동식들의 해집합을 직접 구해보는 것에서 시작했다. 매듭의 색칠 가능성을 넘어 색칠 해집합을 직접 구하기 위해 연립 선형합동식을 행렬을 이용하여 탐구했고, 이 과정에서 새로운 성질들을 찾았다.
첫 번째로, 임의의 매듭그림에 대해서도 일반해를 제시해주는 알고리즘을 새로 고안했다. 매듭의 DT notation을 입력받아 색칠의 해집합을 제시하는 알고리즘을 구현하여 여러 매듭에 대한 -색칠의 일반해를 직접 찾았다. 이 일반해집합을 분석하여 소수 -색칠에 대해서 일반해가 항상 자유변수들의 선형결합의 형태로 나타남을 발견했고, 이를 이용하여 자유변수의 개수, 매듭의 mod rank 사이의 관계와 색칠 해집합의 크기를 구했다.
두 번째로, 매듭의 색칠을 합성수에 대해서도 확장했다. 새롭게 정의한 채색행렬을 이용하여 합성수 -색칠에 대해서는 일반해집합 자체에 대한 연구를 진행했다. 새롭게 정의한 essentiality와 해의 개수라는 2개의 주제로 해집합을 분석했으며, 그 방법은 매듭행렬식-색칠에 대한 일반해 공식을 제시하고 증명하는 것으로 시작했다. 특정 수에 대한 색칠결과를 바탕으로 임의의 자연수 색칠의 성질을 밝혀내는 연구를 진행하여, 임의의 수로 매듭을 색칠했을 때 해집합에 대해 파악했다. 또한, 매듭그림행렬이 라이데마이스터 변환에 의해 어떻게 바뀌는지 연구하여 essentiality와 해의 개수라는 성질이 불변량임을 확인했다.
세 번째로, 고리에 대해서도 -색칠과 -색칠을 확장했다. 매듭의 일반해 알고리즘을 바탕으로 고리에서도 -색칠의 일반해를 구하는 알고리즘을 완성했다. 또한, 매듭 색칠에서의 대부분의 성질이 고리에서도 성립한다는 것을 확인했다."
초록(영문)
This study presents the coloring of knot and link diagrams that satisfies certain conditions. For -colorability, each crossing leads to a linear congruence: therefore a diagram with crossings satisfies congruences, creating a matrix. We first devised an algorithm that presents general solutions from DT notations, and used it for knots with 12 crossings and under. Analyzing general solution sets shows that -coloring solutions appear as linear combinations of free variables, and leads to the relationship between number of free variables and modular rank, and number of solutions. To extend colorability to composites, we defined ‘Coloring matrix’ and used it to study the solution set itself. We defined ‘essentiality’, analyzed sets using essentiality and cardinality, and presented and proved determinant-coloring solution formula. The results includes how to derive the coloring properties and solution sets of any natural number from certain results. Essentiality and cardinality a