초록(국문)
본 연구는 미분방정식으로 표현할 수 있는 수많은 현상 중 하나를 택하여 수치해법을 통해 해결하는 것을 목표로 둔다. 이를 위해 먼저 미분방정식의 세 가지 유형인 초기치, 경계치, 그리고 초기경계치 문제를 해결하는 수치해법을 익히고, 파이썬을 이용해 실제로 구현하는 것을 목표로 한다. 또한, 더 효율적으로 문제를 해결하기 위해, 연립방정식을 풀 때 수치적 안정성(Numerical stability)을 보장하고 메모리 절약을 할 수 있는 야코비 방법(Jacobi method), 가우스-자이델 방법(Gauss-seidel method), 경사하강법(Steepest descent method), 켤레기울기법(Conjugate gradient method) 등의 다양한 반복법(iterative method)을 익혀 코드에 반영한다. 초기치 문제를 해결하기 위해 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta Method)을 사용하고, 이를 4th order에서 구현하며, 경계치 문제를 다루는 대표적인 수치해법인 유한차분법(FDM), 유한요소법(FEM)을 1차원과 2차원에서 파이썬을 통해 구현한다. 마지막으로, 초기경계치 문제의 대표적인 문제인 1차/2차 열 방정식과 파동 방정식의 해를 유한차분법(FDM)과 유한요소법(FEM)을 이용해 구한다. 코드를 검증하기 위해 오차가 없는 경우를 대입해서 확인한다. 더 나아가 보간법(interpolation)을 이용한 멀티그리드(multigrid) 방법을 사용하여 더욱 빠르고 효과적인 코드를 찾으려고 한다. 실제로 코드를 실행시켜본 결과, 멀티그리드 방법을 사용하였을 때가 사용하지 않았을 때보다 더 빠른 시간 내에 효율적으로 계산하는 것이 가능하다는 것을 확인하여, 더 많이 등분된 격자일수록 멀티그리드 방법의 효과가 더 뛰어나다는 것을 알 수 있다.
초록(영문)
The goal of this research is to solve one of the numerous phenomena via the numerical method that can be expressed as a differential equation. To do this, we learned numerical methods to solve three types of differential equations; initial value problems, boundary value problems, and initial-boundary problems and use Python to actually implement it. In addition, to solve the equations more efficiently by using less working memory and guarantee numerical stability, we learned and use iterative methods such as the Jacobi method, Gauss-Seidel method, Steepest Gradient method and Conjugate Gradient method. To find the solution of initial value problems, we apply the Runge-Kutta method, and we succeeded in implementing it in 4th order by using Python. In case of boundary value problems, we use FDM(finite difference method) and FEM(finite element method) and coded via Python in 1D and 2D. Finally, to solve the wave and heat equations, two well-known types of initial-boundary problems, we use